أنماط الجمع

تمرين

تُظهر القائمة الآتية جمع الأعداد من 1 إلى 5

1. في كل عمود وسطر من القائمة، تتناوب الأعداد الفردية والزوجية. اشرح السبب.

2. اشرح لماذا يحتوي الخط القطري في القائمة من أعلى اليسار إلى أسفل اليمين، على الأعداد الزوجية 2 و4 و6 و8 و10.

3. اشرح لماذا تحتوي جميع الخانات في الخط القطري الآخر، من أسفل اليسار إلى أعلى اليمين، على العدد 6.

شرح

هدف هذه المهمة هي دراسة بعض الأنماط المتكررة في قائمة صغيرة لجدول الجمع. وكل نموذج يجري تحديده يثبت أيضًا في القائمة الأكبر وإن كان هناك متسع من الوقت لهذا النشاط، يجب أن نشجع الطلاب على استكشاف هذه الأنماط في القوائم الأكبر. الغرض من هذه المهمة تعليمي. الهدف هو دراسة تركيبة القائمة وربط الأمر بخصائص الجمع.

إن "نمط لوحة الداما" للأعداد الزوجية والفردية ينبع من الحقيقة أن جمع العدد واحد إلى زوجي (وعلى التوالي فردي) ينتج عددًا فرديًا (وعلى التوالي زوجيًا). الاعداد الخمسة الأولى في الخط القطري تنتج لأن العدد الزوجي 2n يمكن كتابته كـ  n + n: في هذه الحالة (أي في قطر هذه القائمة) يظهر ذلك بالنسبة للأعداد n = 1, 2, 3, 4, 5. والحقيقة أن القطر الآخر جميع أعداده 6 تنتج لأن الصعود إلى أعلى بقيمة واحد في القائمة يعني أن إحدى خانات الجمع تنقص بواحد وأما التحرك نحو اليمين في القائمة يعني أن إحدى خانات الجمع تزيد بواحد: ولذلك فالجمع والطرح يختزل (يلغي) أحدهما الآخر ويبقى الجمع على ما هو في هذه الخطوط القطرية.

الحلول

الحل 1

تناوب الأعداد الزوجية والأعداد الفردية في السطور والأعمدة يمكن رؤيتها في الصورة الآتية:

إن سبب نمط التناوب هذا هو أننا في كل مرة نتحرك إلى اليمين خانة واحدة أو إلى الأسفل خانة واحدة، فنحن نضيف العدد واحد إلى المجموع.

على سبيل المثال:

(2+3)+1=2+(3+1)=2+4

هذه المعادلات تظهر ماذا يحدث عندما نتحرك خانة واحدة نحو اليمين من الخانة الناتجة من جمع 2 و3 (لاحظوا أن هذا هو مثال على العملية (الخاصية) التجميعية في الجمع)

• العدد الزوجي زائد واحد يعيطنا عددًا فرديًا

• العدد الفردي زائد واحد يعطينا عددًا زوجيًا

• وهذا إذًا يفسر النمط التناوبي.

الحل 2

الخط القطري ذات الأعداد الزوجية الخمسة الأولى ملوّن بالخط الأزرق، كما في القائمة الآتية:

إن سبب كون هذه الأعداد زوجية هو أن الخانة الزرقاء الأولى هي نتيجة جمع 1 + 1، والخانة الزرقاء الثانية هي جمع 2 + 2، وهكذا دواليك. إذا ضاعفنا الأعداد في المتتالية 1، 2، 3، 4، 5، نحصل على المتتالية 2، 4، 6، 8، 10.

الحل 3

خانات الأعداد على الخط القطري من أسفل اليسار إلى أعلى اليمين ملونة باللون الأزرق في القائمة الآتية: 

يظهر هذا الخط القطري الطرق الخمس المختلفة لكتابة العدد 6 كجمع عدد صحيحين: 1+5, 2+4, 3+3, 4+2, 5+1. في كل مرة نصعد خانة واحدة إلى أعلى ينقص العدد المجموع الأول بواحد وأما في كل مرة نتحرك نحو اليمين يزيد العدد المجموع الثاني بواحد. وما نقوم باستخدامه عمليًا هي العملية (الخاصية) التجميعية للجمع.

على سبيل المثال:

1+5=1+(1+4)=(1+1)+4=2+4

والنتيجة الصافية هي أن نحصل على المجموع 6.