بناء دالة تربيعية عامة

تمرين

في درس "بناء دالة تربيعية محددة" كُتبت دالة تربيعية محددة عن طريق تكميل التربيع. والدالة التربيعية التي استخدمت هي:

q(x)=2x2+4x−16

وقد كتبت هذه الدالة كـ:

q(x)=2(x+1)2−18=2((x+1)2−9)

بعض الأفضليات لهذا الشكل من الكتابة هي أن إحداثي x لنقطة القمة للرسم البياني للدالة q يمكن إيجاده بأكثر سهولة والجذور التربيعية للدالة q يمكن إيجادها فورًا. الجزء اليميني من هذه المعادلة يمكن رؤيته على أنه إزاحة أفقية بـ -1، ثم التربيع، ثم إزاحة عمودية بـ-9 وأخيرًا جعل معامل المضاعفة 2. هدف هذه المهمة هو أولاً توظيف الآلية ذاتها على دالة تربيعية عامة ومن ثم استخراج الصيغة التربيعية. لمساعدتنا على التقدم في هذه العملية، أولاً نعيد كتابة المعادلة السابق ذكرها:

q(x)2=(x+1)2−9

ولتكن f دالة تربيعية، فنحصل على:

f(x)=ax2+bx+c

الأعداد a وb وc هي أعداد حقيقية ونفترض أن a لا يساوي صفرًا.

المسألة 1:

تابعين المسألة التي استخدمنها كمثال، نبدأ باستخراج المعامل الرئيسي: 

ضرب f(x) بـ 1a تعطينا: 

f(x)a=x2+bax+ca

نريد أن نكتب ذلك على أنه تربيع الدالة الخطية x+d  زائد عدد ثابت.

جدوا الأعداد d وk لكي تكون f(x)a=(x+d)2+k.

المسألة 2

باستخدام القيم لـ d و k التي وجدتموها في المسألة 1، أعيدوا كتابة f(x)=ax2+bx+c على f(x)a=(x+d)2+k أنها.

لماذا توجد للعبارتين f(x) الجذور f(x)a ذاتها؟

المسألة 3

اشرح كيفية استخراج الصيغة التربيعية من جذور المعادلة f.

شرح

هذه المهمة هي لأهداف تعليمية وتستند على درس "بناء دالة تربيعية محددة". أولاً، من الضروري أن يكون الطلاب قد تدربوا على "بناء دالة تربيعية محددة" قبل أن يقوموا بهذه المهمة. قد يريد المعلم أن يعيد ذكر الخطوات المستخدمة لمعالجة الدالة التربيعية q(x)=2x2+4x−16  المعطاة في هذه السلسلة من المعادلات:

q(x)q(x)2q(x)2q(x)2=2x2+4x−16,=x2+2x−8,=(x+1)2−1−8,=(x+1)2−9.

يمكن كتابة المعادلة الأخيرة كـ:

q(x)=2((x+1)2−9)

في هذا الشكل تنتج الدالة q من 4 عمليات مختلفة

1. إزاحة أفقية بـ 1-.

2. تربيع

3. إزاحة عمودية بـ 9-.

4. معامل المضاعفة يساوي 2. 

هذه المهمة تُجري العمليات ذاتها مع الدالة التربيعية f(x)=ax2+bx+c. تجري العمليات بالترتيب المعاكس لأن f هي نقطة البداية والهدف هو أن نقوم بتفكيك f ببطئ لإيجاد الإزاحة الأفقية والإزاحة العمودية ومعامل المضاعفة كما فعلنا مع q. الخطوة الأولى هي إيجاد معامل المضاعفة والخطوات الثلاثة الأخرى، الإزاحتين الأفقية والعمودية وعملية التربيع تنفذ معًا من خلال العملية المعروفة بتكميل الجذر، المقابلة للمعادلة الثالثة المعروضة سابقًا في التمثيل q(x)=2x2+4x−16.

العمل مع الكثير من المتغيرات، كما الحال في المسألة الحالية، قد يكون تحدٍ. كمسألة بديلة أو كعملية إحماء (تجهيز) لهذه المسألة يمكن العمل على بعض الدوال التربيعية المحلولة مثل q(x)=2x2+4x=16، والعمل خلال هذه المسألة لإيجاد، في الجزء (c)، العبارة 2((x−1)2−9)  لـ q(x)، الأمر الذي من ثم يجعلنا نجد جذور q(x) كما فعلنا في "بناء دالة تربيعية محددة". الطلاب الذين يستطيعون معالجة هذه التعبيرات التربيعية مع أعداد ثابتة بدلاً من المتغيرات هم متمكنون جدًا من المعيار التعليمي F-BF.3. 

الصيغة التربيعية، التي تنتج تلقائيًا في الجزء (d)، يمكن استخراجها بطريقة هندسية صرفة مما يفسر العبارة "تكميل المربع" المعطاة عادة للجزء (b) من هذه العملية. في المنهج المستخدم هنا، هنالك أيضًا حدس هندسي كامن ولكنه متعلق بالرسوم البيانية في الدوال الموجودة في خطوات أخرى من العملية.

الحلول

الحل 1

لاحظوا أننا نستطيع أن نضرب الدالة f(x) المتعددة الحدود بـ 1a إن كان a ليس صفرًا: هذا هو المكان الوحيد في هذه المسألة الذي تستخدم فيه الفرضية a≠0.

إن ربعنا الدالة الخطية x + d نجد  

(x+d)2=x2+2dx+d2

وهنا نريد أن نكتب

x2+bax+ca

كأنها (x+d)2+k  للأعداد d و k. وبما أن معامل x في (x+d)2  هو2d  ومعامل x في x2+bax+ca  هو ba هذا يعني أننا نريد أن نختار أن d يكون 

d=b2a.

وبما أننا وجدنا، نرى أن

x2+bax+ca=(x+d)2−(b24a−ca).

وهذا يخبرنا من ثم أن الثابت في k التعبير x2+bax+ca=(x+d)2+k

k=−(b24a−ca).

الحل 2

في الجزء (a) نجد أن d=b2a و k=−(b24a−ca . ووضع هذه في العبارة f(x)a=(x+d)2+k gives تعطينا 

f(x)a=(x+b2a)2−(b24a2−ca).

لرؤية لماذا f(x)a  و f(x)لهما الجذور نفسها، نفترض أولاً أن r جذر f(x)a بحيث أن f(r)a=0. هذا يعني أن f(r) =0 ولذلك r يجب أن يكون جذرًا لـ f. من ناحية أخرى، إن كانf(r)=0  فإذًا 

f(r)a=0a=0

وأيضًا r هو جذر لـ f(x)a.

الحل 3

من الجزء (b) لدينا

f(x)a=(x+b2a)2−(b24a2−ca).

بما أن جذور f(x) هي ذاتها جذور f(x)a، كذلك من الجزء (c) نستطيع أن نجد جذور f بواسطة مساواة الجزء اليميني من المعادلة بالصفر، والحصول على

(x+b2a)2=b24a2−ca.

وأخذ الجذور التربيعية من الطرفية يعطينا

∣∣∣x+b2a∣∣∣=b2−4ac4a2‾‾‾‾‾‾‾‾‾√.

وهذا يعني أن

x+b2a=±b2−4ac‾‾‾‾‾‾‾‾√2a.

ونقل b2a إلى الجانب الآخر من المعادلة يعطينا

x=−b±b2−4ac‾‾‾‾‾‾‾‾√2a.

هذه هي الصيغة التربيعية.