Concepto de simetría axial

 Guía de trabajo

 Elaborada por: Ana María Sandoval Poveda

Universidad Estatal a Distancia

 octubre 2013

El término simetría es común. Se usa constantemente en diferentes situaciones y contextos. En Matemática se trabaja con diferentes tipos de simetrías. En este material se trabajará la axial.

Objetivo

Con este material se pretende que usted clarifique el concepto de simetría axial tanto en su definición como en su forma gráfica.

Para lograr esta meta, primero encontrará una serie de actividades por realizar. Posteriormente, tendrá ejemplos adicionales que le permitirán comprobar las ideas y conceptos adquiridos. Después, se pone a su disposición algunos ejercicios sobre el tema, de manera que verifique su aprendizaje. Para aprovechar las actividades, en especial las geométricas que se desarrollan por medio de construcciones, debe instalar el software libre Geogebra [http://www.geogebra.org/cms/es/] o agregarlo al navegador de internet para usarlo en línea.

Adicionalmente, encontrará una sección de referencias que le permitirá acceder a los recursos usados en la confección de este material; en ellos podrá ahondar más en el tema.

Concepto intuitivo

Observe detenidamente la siguiente imagen:

Las siguientes afirmaciones son verdaderas:

En la imagen 1 se percibe la simetría de esta parte la construcción. Los brazos de la escalera son simétricos, al igual que la disposición de las columnas.

Intuitivamente: ¿por qué son ciertas esas afirmaciones?, ¿cómo lo justifica?, ¿puede determinar otras simetrías?

¿Qué es una simetría axial?

Simetría es la correspondencia exacta en la disposición regular de las partes o puntos de un cuerpo o figura con relación a un centro, un eje o un plano. Estéticamente suele considerarse bella una estructura, una figura o un diseño que cumpla con esta condición.

Hay varios tipos de simetrías. En este caso, interesa la referida a una recta. La cual recibe el nombre de simetría axial y la recta se denomina eje de simetría (Blanco y Sandoval, 2010, pág. 157).

Así como hay figuras con simetría (imagen 1) hay otras que son simétricas entre sí. Observe la siguiente imagen:

La figura de la derecha es simétrica a la de la izquierda pues a cada punto de la primera reflejado sobre un eje de simetría le corresponde otro exactamente a la misma distancia de esa recta solo que en el otro semiplano determinado por la recta.

Observe que una de las figuras es un “reflejo” de la otra; es por esta razón que al hablar de simetrías axiales suele usarse el término reflexión.

En la imagen 1, un lado de la fotografía es simétrico al otro según una recta que puede trazarse tal como se muestra en la siguiente imagen.

Note que el lado derecho de la imagen, determinado por la recta amarilla, puede verse como un reflejo del lado izquierdo.

Así, es evidente la correspondencia de las columnas entre sí y de los arcos del techo. De igual manera, cada escalón de la izquierda puede hacerse corresponder a uno de la derecha.

En la imagen 2, la figura de la izquierda es simétrica a la de la derecha respecto a una recta. Observe:

Igual que con la fotografía sueca, las figuras formadas por triángulos también se pueden hacer corresponder, de manera que cada segmento de la figura de la derecha sea reflejo de otro segmento de la ubicada a la izquierda.

Hay figuras que tienen uno o más ejes de simetría y otras que no tienen ninguno. Se le invita a buscar ejemplos de su entorno que correspondan a ambas situaciones. En la sección de este material correspondiente a los ejemplos podrá ver algunos.

Ahora, según lo visto hasta el momento, ¿qué características cumplen dos figuras simétricas entre sí?, ¿y una figura con simetría axial en sí misma? Anote sus ideas para que pueda compararlas con los resultados que obtendrá en las siguientes actividades de aprendizaje.

Verifique sus ideas con la construcción Propiedades de las reflexiones, elaborada por stampinpost con Geogebra; lo encontrará en el siguiente enlace: http://www.geogebratube.org/material/show/id/31889.

Para esto realice los siguientes pasos:

1.     Abra la Hoja de trabajo para estudiantes o baje la construcción y trabájela en su máquina.

2.     Coloque el cursor sobre el punto B y muévalo, ¿qué sucede con el triángulo gris?, ¿y con el rojo?

3.     Retome las características que estableció y verifíquelas con la experiencia.

4.     En las opciones de la parte superior derecha de su hoja de trabajo tiene dos opciones: “Mostrar longitudes” y “Mostrar ángulos”. Marque la primera.

5.     Realice los mismos movimientos y verifique lo que sucede.

6.     Haga lo mismo con la segunda de las opciones.

7.     Nuevamente, retome sus ideas anteriores a esta experiencia y compárelas con lo sucedido.

Para aclarar conceptos, observe con detenimiento el video Ejes de simetría que encontrará en el enlace: Video tomado de Khan Academy.

Ejemplos

A continuación encontrará algunos ejemplos relacionados con el tema. En algunos de ellos se detallan pasos por seguir.

1.     La estructura de las mariposas es, generalmente, simétrica. Verifíquelo.

a)     Ingrese al enlace http://www.geogebratube.org/material/show/id/47059, donde encontrará el material Simetría axial.

b)     Abra la Hoja de trabajo para estudiantes o baje el material para trabajarlo. Ahí encontrará un montaje elaborado por Ester A. en Geogebra.

c)      El deslizador es el punto azul en la parte inferior derecha de la imagen; muévalo sobre la línea y observe lo que sucede.

2.     Las figuras que son simétricas entre sí son una reflejo de la otra por medio de una relación determinada por un eje de simetría, es decir, por una recta. Verifíquelo.

a)   Ingrese al enlace http://www.geogebratube.org/material/show/id/13559, donde encontrará el material Reflexiones.

b)   Abra la Hoja de trabajo para estudiantes o baje el material para trabajarlo. Ahí encontrará un montaje elaborado por Vitullo en Geogebra.

c)    Observe la imagen y su reflejo. Observe los puntos que coinciden según la recta de simetría marcada.

d)  Coloque el cursor sobre la recta que define la simetría y muévala.

Verifique las imágenes son siempre simétricas.

Ejercicios

1.    Observe detenidamente el grupo de 8 figuras que se muestra a continuación.

a)     Considere la afirmación “es posible determinar un eje de simetría, de manera que un grupo de 4 de estas figuras sea simétrico a las restantes”. ¿Es cierta? Justifique su respuesta.

b)     Intente dibujar la recta mencionada, ¿dónde se ubicaría?

1.    Muchas veces en las publicaciones se puede determinar que una imagen fue “volteada”. Esto se consigue al ver que las letras de un cartel están invertidas o que los autos quedan con el volante en el asiento del pasajero. En este ejemplo se hizo lo mismo con una foto.

a)   Ingrese al enlace http://www.geogebratube.org/material/show/id/14421 para trabajar con la actividad Reflecting image about line.

b)   Abra la Hoja de trabajo para estudiantes o baje la carpeta con el material. Ahí encontrará un montaje elaborado por seylakhat en Geogebra.

c)    ¿Cómo describiría las dos imágenes?

d)  Coloque el cursor en el punto A y muévalo, ¿qué sucede con la imagen?, ¿cambia?

e)   Coloque el cursor en el punto C y muévalo verticalmente, ¿hay cambios en la posición de la imagen reflejada?, ¿por qué? Explíquelo con sus propias palabras.

f)    Vuelva a mover el punto C pero en otra dirección, ¿qué sucede ahora? Explíquelo con sus propias palabras.

g)   Puede hacerlo también con el punto D para repasar sus apreciaciones.

Propuesta

Ahora que se cuenta con ideas claras acerca de la simetría axial, que se han detallado algunas de sus características y se ha trabajo con ellas, es el momento de plantear cómo llevar este tema a los estudiantes a su cargo.

Asuma que tiene una clase de dos lecciones para trabajar el concepto de simetría axial y desarrolle un planteamiento para impartir el tema a sus estudiantes.

Para ayudarle a elaborar su propuesta se le proponen las siguientes preguntas orientadoras:

• ¿Dispongo de algún material para desarrollar el tema con mis estudiantes?

• ¿Necesito crear un material para este tema?

• ¿Tengo acceso a algún dispositivo tecnológico para hacerlo?

• ¿Qué ventajas presenta para mí y para mis estudiantes trabajar con un material especial y en un soporte tecnológico?

• ¿Qué tipo de actividades quiero que realicen mis estudiantes?

• ¿Puedo replicar alguna ya conocida?

• ¿Cuento con materiales para elaborar la clase?

• ¿Tengo acceso a recursos educativos que me sean de utilidad para estudiar simetría axial con los estudiante?

• ¿Qué características debo buscar en los materiales?

Puede buscar materiales en diferentes fuentes como las mencionadas en la sección de referencias o las siguientes:               

Recuerde que todos los recursos usados en esta guía son Recursos Educativos Abiertos (REA), por lo que si lo desea puede usarlos o, por medio de ellos, llegar a otros recursos que le sean de utilidad. 

Referencias

Autor secreto. (2013). Ejes de simetría. [Video 2:47 minutos]. Recuperado de http://youtu.be/LrTn4cvsewk

Blanco, R. y Sandoval, A. (2010). Matemática para 8°. San José: Editorial de la Universidad Estatal a Distancia.

Curman, C. (1896). Stairwell en Årsta Castle al Sur de Stockholm. [Imagen] Recuperado de http://www.flickr.com/photos/swedish_heritage_board/4284471095/

Ester A. (2013). Simetría axial. [Construcción Geogebra] Recuperado de http://www.geogebratube.org/material/show/id/47059

Inductiveload. (2009). Polyiamond 3-fold rotational symmetry. [Imagen] Recuperado de http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Polyiamond_3-fold_rotational_symmetry.svg

Nonenmacher, R.A. (2008). Y-pentomino Symmetry.svg. [Imagen] Recuperado de http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Y-pentomino_Symmetry.svg

Sandoval, A. (2010). Estudio de las simetrías para maestros y maestras de I y II ciclo de la educación costarricense. (Tesis de maestría en Matemática). Universidad de Costa Rica, San José.

Seylakhat. (2012). Reflecting image about line. [Construcción Geogebra] Recuperado de http://www.geogebratube.org/material/show/id/14421

Stampinpost. (2013). Properties of reflections. [Construcción Geogebra] Recuperado de: http://www.geogebratube.org/material/show/id/31889

Vitullo. (2012). Reflections. [Construcción Geogebra] Recuperado de: http://www.geogebratube.org/material/show/id/13559